Задача по мотивам сказки «Конёк-Горбунок» П.П. Ершова
(А.П. Смирнов, О.В. Захаров, Весёлый бал и вдумчивый урок, – М.: «Кругозор», 1994.)

Тут Конёк: «Сказать по дружбе, Это службишка, не служба: Служба вся, брат, впереди! Ты теперя спать поди; А назавтра, утром рано, Мы поедем к окияну». Ну-с, так едет наш Иван За кольцом на окиян. Горбунок летит, как ветер, И в почин на первый вечер Вёрст сто тысяч отмахал. И нигде не отдыхал.

• Насколько хорошо знал Конёк маршрут и конечную точку путешествия?
• Подсчитайте скорость движения Горбунка и сравните её со скоростью ветра.
• Подсчитайте работу против силы тяжести, произведённую Горбунком на «службишке» по перевозке Ивана.

Формирование данных

Старая русская мера длины – верста = 1,0668км. Считаем, что сутки делятся на четыре равных временных интервала: утро, вечер, день и ночь, тогда можно допустить, что Горбунок «вёрст сто тысяч отмахал» за время Δt = 12 часов (с раннего утра до вечера).

Суммарная масса Ивана и Конька m = 100кг.

При каждом «махе» – скачке Горбунка центры масс его и Ивана перемещаются вверх на величину Δh, которую определим позже в ходе решения задачи. Длину одного скачка l примем равной 500м, опираясь на утверждение поэта, что Конёк «поднатужился – и вмиг на далёкий берег прыг» (со спины огромного «чудо-юдо рыбы-кита»).

Решение

Сто тысяч вёрст, которые «отмахал» Конёк-Горбунок, выраженные в метрах, дадут нам путь до финиша путешествия:

Это расстояние соответствует ~ 2,5 длинам окружности Земли:

где R_З = 6,4•10⁶м – радиус Земли. Поэтому мы можем заключить, что Конёк блуждал по всем «окиянам» Земли, отыскивая конечную точку маршрута.

Расстояние L Горбунок «отмахал» («и нигде не отдыхал») за Δt = 12 часов, откуда его скорость

Эта скорость >> скорости звука и приближается к первой космической скорости. Только сказочные способности Конька-Горбунка позволяют ему развивать, очевидно, такую скорость, которую, конечно, надо сравнивать не со скоростью ветра («Горбунок летит как ветер…»), т.к. даже самые сильные ветры имеют скорость в ~ 10² раз меньшую. Считая, что такой скорости можно достичь только в отсутствие сопротивления среды, дальнейшее решение проведём в этом приближении.

Определим величину подъёма центра масс системы Иван – Конёк-Горбунок Δh при каждом «махе» последнего на длину l = 500м, решая задачу о движении тела, брошенного под углом a к горизонту с начальной скоростью V.

Так как

при этих условиях sinx ≈ x, откуда a = 4•10^-4 радиана.

Максимальная высота подъёма Δh в этом случае будет определяться выражением:

Высота подъёма центра масс Δh мала. Т.е. при такой скорости при скачке Горбунок просто стелется по земле. Работа A₁ против силы тяжести, совершаемая Коньком при подъёме центров масс своего и Ивана на Δh при одном скачке, определяется выражением:

Работа A_S за всё время путешествия равна A₁ × n, где n = L / l – число скачков, тогда

Средняя мощность, развиваемая Горбунком для совершения этой работы,

Что вполне по силам и не сказочному коню, т.к. одна лошадиная сила эквивалентна 736Вт.

Задача по мотивам стихотворения «Остров бегемотов» А. Усачёва
(А.П. Смирнов, О.В. Захаров, Весёлый бал и вдумчивый урок, – М.: «Кругозор», 1994.)

Видел я чудесный остров Посреди пустынных вод: Сорок тысяч бегемотов На песках его живёт. И приливы в океане Возникают оттого, Что сигают бегемоты Прямо с берега в него. И напрасно утверждают Все учёные страны, Что приливы возникают Под влиянием Луны: «Мол, при чём тут бегемоты? Есть научные работы И различные расчёты…» Все их точные расчёты Лишь доказывают мне, Что купаться бегемоты Обожают при Луне.

Подсчитайте, проведя «научные работы и различные расчёты», на сколько увеличится уровень Мирового океана, если в него «сиганут» одновременно 40 000 бегемотов?

Формирование данных

Мировой океан – это водное пространство океанов и морей, составляющее 1/800 часть объёма Земного шара.

Мировой океан занимает площадь, приблизительно равную 3/4 поверхности Земли.

Пусть средние размеры бегемота составляют: в длину – 4,0м, в диаметре – 1,0м.

Земной шар имеет радиус R_З = 6,4•10⁶м.

Решение

Учитывая данные, приведённые выше, подсчитаем объём, занимаемый 40 тыс. бегемотов:

где V_S – объём 40 тыс. бегемотов,

V – объём одного бегемота,

R – его радиус (бегемот аппроксимируется цилиндром радиуса R и длины l).

«Сиганув» одновременно в воду с берега, 40 000 бегемотов увеличивают объём мирового океана на величину своего суммарного объёма, следовательно, уровень воды мирового океана увеличится на величину h, определяемую из выражения:

где S – площадь мирового океана,

S_З – поверхность Земли.

Откуда

Уровень мирового океана поднимется на 3 Ангстрема. Это увеличение уровня соответствует диаметру молекулы воды. Естественно, такую прибавку не только на глаз невозможно заметить, но даже в самый сильный оптический микроскоп.

Однако, если учесть, что бегемоты «сигают» в океан в одном месте, увеличение объёма океана локально и не мгновенно распределяется по земному шару (точнее по его водной оболочке), то в данном месте «сигания» увеличение уровня океана может значительно отличаться от полученной величины.

Задачи для самостоятельного решения

1. В книге Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена» её герой рассказывает о себе следующую историю: «Я стоял рядом с огромнейшей пушкой … и когда из пушки вылетело ядро, я вскочил на него верхом и лихо понёсся вперёд… мимо меня пролетало встречное ядро… я пересел на него и как ни в чём не бывало помчался обратно». Оцените, как изменится дальность полёта ядра, если барон оседлает его при вылете из пушки или пересядет с одного ядра на другое в полёте.

2. Н.А. Некрасов. «Дедушка Мазай и зайцы».

Мимо бревно суковатое плыло, Сидя, и стоя, и лёжа пластом, Зайцев с десяток спасалось на нём. «Взял бы я вас – да потопите лодку!» Жаль их, однако, да жаль и находку – Я зацепился багром за сучок И за собою бревно поволок.

Оцените, при каком минимальном объёме бревна зайцы могли на нём плыть.

3. В.Я. Брюсов. «Мир электрона».

Быть может, эти электроны – Миры, где пять материков, Искусства, знанья, войны, троны И память сорока веков! Ещё, быть может, каждый атом – Вселенная, где сто планет; Там всё, что здесь, в объёме сжатом, Но также то, чего здесь нет. Их меры малы, но всё та же Их бесконечность, как и здесь; Там скорбь и страсть, как здесь, и даже Там та же мировая спесь…

В чём видит поэт сходство мира электрона и Земли?

Сравните отношения радиусов первых четырёх боровских орбит электрона в атоме водорода с отношениями расстояний от Солнца до других планет.